Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga | Bimbel Jakarta Timur

Articles/pictures/videos in various disciplines such as mathematics, science and computational science. Explore advanced logical thinking, conceptual ability,  and enhance students understanding of science and mathematics, primary education, secondary education, higher education, teacher education,  and non-formal education

                                                                            

slider

Navigation

Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga, Dari aturan cosinus tersebut kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.
1. Aturan Sinus
Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Aturan Sinus

















Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Sinus 2









2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

















b²  =CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B=CD  ⇔ CD=a. Sin B... (2)
               a

Cos B=BD  ⇔ BD=a. Cos B... (3)
                a

AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²  =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A=  b² + c² - a²
         Cos A=  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B=  a² + c² - b²
                             2.a.c

⇔   Cos C=  a² + b² - c²
                             2.a.b

3. Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga
Perhatikan △ABC disamping !

Sin A=CD
                b
⇔ CD=b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi


Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △= ½ b.c.Sin A

Luas △= ½ a.c.Sin B

Luas △= ½ a.b..Sin C


MARI BERLATIH DENGAN SOAL

1. Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6 cm dan AC=10 cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!


Pembahasan:

BC=a dan AC=b

   a      =   b  
Sin A     Sin B

  6    =    10  
Sin30°   Sin B

⇔ Sin B=10 x Sin30°  ⇔  Sin B=10 x ½   ⇔ Sin B=5/6
                   6                               6                      

2. Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR=p dan PQ=r

menurut aturan sinus      p     =    r             ⇔    8√3     =    r   
                                   Sin P      Sin R             Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r=   8√3 x Sin 45°  ⇔  r=   8√3  ½√2     ⇔ r=8√2 cm
               Sin  60°                    ½√3


3.  Perhatikan  △ABC disamping !
     Berapakah panjang sisi AC?
Berapa panjang sisi AC ?


Pembahasan :

AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°

  b    =     c  
Sin B      Sin C

  b        =    20  
Sin 60°     Sin 45°

b  = 20 x Sin 60°  =  20 x  ½√3
            Sin 45°               ½√2

b  = 20√3  x √2    =  10√6cm
        √2      √2

4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c=12√2cm, besar <A=105° dan <C=45° maka berapakah panjang sisi b?

Pembahasan :

Besar <B=180° - (105° + 45°)=30°


 b    =     c  
Sin B      Sin C

    b         =   12√2  
Sin 30°        Sin 45°


b=12√2 x Sin 30°  = 12√2 x ½   = 12 cm
           Sin 45°             ½√2


5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR=4cm, PR=10cm dan Sin Q=½. Berapakah nilai Cos P?

Pembahasan :

QR=p dan PR=q


   p     =    q           ⇔    4        =   10  
 Sin P      Sin Q            Sin P           ½    


⇔ Sin P=  4 x ½   = 1
               10           5  

⇔ Cos² P=1 - Sin² P   ⇔ Cos² P=1 - (⅕)²

⇔ Cos² P=24/25  ⇔ Cos P= ⅖√6 cm


6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB=4 cm, BC=6 cm dan AC=8 cm. Nilai cos <ACB adalah...

Pembahasan :

Cos <ACB=BC² + AC² - AB²
                          2 x BC x AC

Cos <ACB= 6² + 8² - 4²  =36 + 64 - 16    = 84    = 7
                     2 x 6 x 8           96                96        8


7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!

Nilai x?


Pembahasan : 

X²=3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°

X²  =9 + 64 - 2.24.½
X²=73 -24=49
X  =√49=7cm 


8. Ditentukan △KLM dengan KL=9cm, KM=8cm dan LM=7cm. Nilai Sin K adalah...

Pembahasan :

Cos K=KL² + KM² - LM²
                  2 x KL x KM

Cos K=  9² + 8² - 7²  =81 + 64 - 49  =  96    = 2
                 2 x 9 x 8        144               144      3

⇔ Sin² K  =1 -  Cos² K
⇔ Sin² K  =1 -  (2/3)² 
⇔ Sin² K  =1 -  4-/9=5/9
⇔ Sin  K  =√5/9   =⅓√5 

9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB=AC=8cm dan besar <ABC=30°. Berapakah panjang sisi BC?

Pembahasan : 
panjang sisi BC?
BC²  =AB² + AC² - 2xABxACx Cos A

BC²  =8² + 8² -  2 x 8 x 8 x (-½)

BC²  =64 + 64 + 64=192

BC  =√192  = 8√3 cm

10. Pada △ABC diketahui a=2√7cm, b=4cm dan c=6cm. Maka nilai Sin A adalah...

Pembahasan :

Cos A=b² + c² - a² 
                 2xbxc

Cos A= 4² + 6² - (2√7)²  = 16 + 36 - 28  = 24  =1
                    2x4x6              48                48      2

maka didapat besar <A=60°

Sin 60°= ½√3

Contoh Soal Cerita Aturan Sinus Dan Aturan Cosinus




11. Pada △ABC diketahui <ABC=60°, panjang sisi AB=12cm dan panjang sisi BC=15cm. Luas segitiga itu adalah...

Pembahasan :

Luas △ABC=½ x AB x BC x Sin <ABC
                      
                      =½ x 12 x 15 x ½√3

                      =45√3 cm²


12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?

Pembahasan :

Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini

Luas △=½ x s x s x Sin α
       
              =½ x 12 x 12 x ½√3

              = 36√3 cm²


13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?
Luas segi empat ABCD ?
Pembahasan :

Luas △ABD=½ x 3 x 8 x Sin  60°=12 x ½√3= 6√3 cm² 

Untuk menghitung luas  △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus

BD²=3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos  60°
BD²= 9 + 64 - 24=49
BD  =√49=7 cm

Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah

Luas △CBD=½ x 7 x 24=84 cm² 

Maka luas segiempat ABCD= Luas △ABD + Luas △CBD
                                                  = 6√3 cm²  + 84 cm² 
                                                   =(6√3 + 84) cm²



14. Jika △ABC memiliki besar <A=65°, <B=55°, panjang sisi AC=6cm dan panjang sisi BC=8cm, maka luas segitiga tersebut adalah

Pembahasan : 

Luas segitiga?
Luas △ABC=½ x AC x BC x Sin 60°
                      =½ x 6 x 8 x ½√3
                       =12√3 cm²


15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm. 

Pembahasan : 

Perhatikan gambar dibawah ini !
Luas segi 5?


Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB=360°  =72°
                                                                           5

Luas segi-5=5 x Luas △AOB
          
                    =5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°
  
                    =160 x 0,951

                    =152,16 cm²

 
Bimbingan Belajar,Ilmu Pengetahuan,
Semoga Bermanfaat
Share

Diah Kusumastuti

Saya Diah Kusumastuti. sebagai pemilik Bimbel Jakarta Timur. Saya pecinta matematika, tetapi juga tertarik untuk ilmu pengetahuan lain seperti Fisika, Kimia, Biologi. Semakin kita belajar dan menggali ilmu semakin kita menyadari betapa luas ilmu Allah sekaligus membuat kita semakin ingin mengeksplor lebih banyak. Dengan blog ini saya ingin berbagi sedikit ilmu yang saya punya dan untuk terus membangkitkan semangat belajar para pembaca. Semoga apa yang saya tulis dalam blog ini dapat bermanfaat bagi yang membaca, juga menjadi tambahan ilmu dan amal jariah bagi saya.

Post A Comment:

4 comments:

  1. Jawaban NO 4 salah karena harusnya sudut B=30 jadi pakai sin 30=1/2

    ReplyDelete
    Replies
    1. oh iya, terima kasih banyak atas koreksinya
      sudah diperbaiki

      Delete

Terimakasih atas komentar yang sopan, bijak, dan koreksinya (bilamana ada kesalahan, karena saya hanya manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan) ^_^