Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

y adalah fungsi dari x atau y=f(x), turunan fungsi dinotasikan sebagai y' atau f ‘(x) atau dy/dx

Maka turunan fungsi y=f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

Rumus 1

A. Definisi

Untuk y adalah fungsi dari x atau y=f(x), turunan fungsi dinotasikan sebagai y' atau f ‘(x) atau dy/dx

Maka turunan fungsi y=f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

Contoh :

Jika f (x)=x² – 3x, maka turunan fungsi f (x)adalah

Rumus 2

B.      Rumus Dasar Turunan

1. ·        Turunan fungsi konstan k. Jika f(x)=k, maka  f ‘(x)=0
2. ·        Jika f(x)=ax, maka f ‘(x)=a
3. ·        Jika f(x)=axⁿ, maka f ‘(x)=anx^n-1
4. ·        Jika f(x)=u(x) + v(x), maka f ‘(x)=u’(x) + v’(x)
5. ·        Jika f(x)=u(x) . v(x), maka f ‘(x)=u’(x) .v(x) + v’(x) . u(x)

·       6.               Jika f(x)=u(x) 
                                        v(x)
                   maka f ‘(x)= u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                                                   [v(x)]²

·                 7.        Jika f(x)=[u(x)]ⁿ, maka f‘(x)=n [u(x)]^n-1.u’(x)

·                 8.   Turunan fungsi komposisi (dalil rantai)

              Jika y=f(g(x)), maka  =dy  = dy .dg

                                   dx     dg   dx

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

• Jika f(x)=sin x, maka f’(x)=cos x

         dan jika f(x)=sin u(x), makaf’(x)=u’(x). cos u(x)

• Jika f(x)=cos x, maka f’(x)=-sin x

        dan jika f(x)=cos u(x), makaf’(x)=-u’(x). sin u(x)

•  Jika f(x)=tan x, maka f’(x)=sec²x

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL KURVA

• ·        Gradien garis singgung kurva di titik (x₁,y₁)pada kurva f(x) adalah m=f’(x₁)

Gradien

          Persamaan garis singgung kurva

          y – y₁=m (x – x₁)

·         

•     Garis normal kurva adalah suatu garis yang tegaklurus dengan garis singgung kurva di titik yang sama dengan titik singgungkurva.

Kurva

·                    Gradiengaris normal kurva di titik (x₁,y₁) pada kurva f(x)                          

a           adalah m_n=-1/f'(x)  

·                           Persamaan garis normal kurva

        y – y₁=m_n (x – x₁)

FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN DAN NILAI STASIONER

• ·        Fungsi naik

Suatu fungsi dikatakan naik dalam suatuselang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) < f(x₂)

kurva naik jika f’(x) > 0

• ·        Fungsi turun

Suatu fungsi dikatakan turun dalam suatuselang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) > f(x₂)

kurva naik jika f’(x) < 0

• ·        Nilai dan titik stasioner

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan pada x=a dan f’(a)=0, maka f(a) merupakan nilai stasioner fungsi f(x)

Jika f’(a)=0, maka titik stasioner fungsiadalah (a, f(a))

·        Jenis nilai stasioner dimana f”(x) adalahturunan kedua fungsi f(x)

Jika f”(a) < 0, maka f(a) berjenismaksimum

Kurva 2

Jika f”(a) > 0, maka f(a) berjenis minimum

Kurva 3

Jika f”(a)= 0, maka (a, f(a)) adalah titik belok

Kurva 4

  

                                                                          

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

    1. Turunan pertama dari fungsi f(x)=4x³ -3x² + 8x -5 adalah….

          Pembahasan:

        f’(x)  =4.3.x^3-1 – 3.2.x^2-1+ 8.1 x^1-1 -5.0.x^0-1

               =12x² – 6x¹ + 8x⁰ – 0

               =12x² – 6x + 8

     2.  Turunan pertama dari fungsi y=(3x²+2) (2x -5) adalah…

         Pembahasan:

       misal u(x)=3x² +2,  u’(x)=6x

       v(x)=2x -5,    v’(x)=2

       maka y’=u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                  =6x (2x – 5) + 2 (3x²+2)

                  =12x² – 30 x + 6 x²+ 4

                  =18x² – 30x + 4   

                                         

     3. Turunan pertama dari  dari y=(5x² +3 x)³adalah…

           Pembahasan:

         misal u(x)=(5x² +3x),  u’(x)=10x + 3

            y=[u(x)]ⁿ, 

            maka y' =n [u(x)]^n-1.u’(x)

    = 3(5x² +3x)²(10x + 3)

    =  (30x + 9)(5x² +3x)²

1.                  4.  Turunan pertama dari fungsi y=∛(6x+5) adalah…

         Pembahasan:

 y=(6x + 5)^1/3,u(x)=6x=5, u’(x)=6

 y’=1/3 (6x + 5)^-2/3(6)

    =2(6x + 5)^-2/3

    ^{=     2}       

       ∛(6x+5)²

5. Turunan pertama dari fungsi f(x)=3x + 2 adalah…

                                                    x - 1

                    Pembahasan:

            u(x)=3x+2, u’(x)=3

            v(x)=x-1,    v’(x)=1

     maka f ‘(x)= u’(x) . v(x) - v’(x) . u(x)

                                       [v(x)]²

                                =3(x-1) - 1(3x+2) 

                                           (x-1)²

                                =   -5    

                                     (x-1)²

      6.  Persamaan garis singgung para bola y=x²+ 4x -5 

                 pada titik (-1,2) adalah…

                Pembahasan:

             y’=2x + 4

             m=2(-1) + 4=2

             persamaan garis singgung

             y – 2=2 (x –(-1))

             y – 2=2x + 2

             y=2x + 4

2    7.   Persamaan garis normal kurva y=x³-4x²+ 5x-2 

                 pada titik (2,-5) adalah…

                Pembahasan:

             y’=3x²- 8x + 5=3(2)²– 8(2) + 5=1

             m_n=-1/y’=-1/1=-1

             persamaan garis normal

             y – (-5)=-1(x-2)

             y + 5=-x + 2

             y=-x -7

8.   8. Fungsi f(x)=x² – 9x naikpada interval…

                Pembahasan:

             fungsi naik jika f’(x) > 0 , 

             maka 2x –9 > 0

             jadi fungsi naik pada x > 4,5

9.   9. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f(x)=2x³ – 15x² +36x – 10 !

                 Pembahasan:

              titik stasioner dicapai jika f’(x)=0

              6x² -30x + 36=0

              6 (x -2) (x-3)=0

              x₁=2, x₂=3

              Nilai stasioner didapat

              f(2)=18 dan

              f(3)=17

          10. Tentukan turunan pertama dari y=sin³(2x+3)

               Pembahasan :

               y'=3sin²(2x+3).cos(2x+3) (2)

                  =6sin²(2x+3).cos(2x+3)