Persamaan Kuadrat | Bimbel Jakarta Timur

Articles/pictures/videos in various disciplines such as mathematics, science and computational science. Explore advanced logical thinking, conceptual ability,  and enhance students understanding of science and mathematics, primary education, secondary education, higher education, teacher education,  and non-formal education

                                                                            

slider

Navigation

Persamaan Kuadrat


Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Secara umum bentuk persamaan kuadrat adalah


Contoh - contoh persamaan kuadrat
2x² + 5x + 4=0
3x² - 12x     =0
x² + 8         =0
x² - 4x + 3   =0
2x²             =0

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai penyelesaian yang memenuhi suatu persamaan kuadrat sehingga persamaan itu bernilai nol. Ada tiga cara untuk mencari akar- akar persamaan kuadrat, yaitu dengan cara faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus abc.



1. Faktorisasi 

Cara faktorisasi digunakan pada persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar bilangan rasional. Sebelum melakukan faktorisasi, kita perhatikan terlebih dahulu bentuk persamaan kuadratnya. Berapa suku yang ada dalam persamaan tersebut serta nilai koefisien dari suku x².

  • Persamaan kuadrat dengan dua suku

a. 3x² - 6   =0   nilai b=0, a dan c dapat dibagi angka yang sama
    3 (x²- 2)=0
          x²-2=0
          x²   =2
          x     =土 √2

b. 2x² - 6x =0    nilai c=0, a dan b dapat dibagi angka yang sama
   2x (x - 3)=0
   2x=0 dan x - 3=0
   x   =0 dan x     =3

c. 4x² - 81=0    nilai b=0, a dan c dapat diakar
   (2x + 9) (2x - 9)=0 2x adalah akar dari 4x² dan 9 adalah akar dari 81
   2x + 9=0   dan 2x - 9=0
   2x     =-9  dan 2x     =9
    x     =-⁹/₂ dan x       = ⁹/₂

  • Persamaan kuadrat dengan tiga suku
a. Jika a=1
    x² + (p+q) x + (p.q)=0
    (x+p)=0 dan (x+q)=0
     
    contoh : x² + 7x + 12=0 
                7=3 + 4 dan 12=3x4
                (x+3) (x+4)=0
                x+3=0  dan x+4=0
                x   =-3 dan x   =-4

b. Jika a > 1
    ax² + bx + c=0 dengan axc=pxq dan b=p+q
    a (x+p/a) (x+q/a)=0

   contoh : 3x² + 4x - 4=0           
Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990

x+2=0  dan x-2/3=0
x   =-2 dan x     =2/3




2. Melengkapkan kuadrat sempurna
    
    Prinsip umumnya adalah
Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990

Contoh :
a. x² - 8x + 12   =0 
   Langkah 1. Pindahkan c ke ruas kanan
   x² - 8x           =  -12 
   Langkah 2. Tambahkan kedua ruas dengan (b/2)²
   x² - 8x + (-4)²=  -12 + (-4)²                           
    Langkah 3. Ubah ruas kiri ke bentuk (x+p)²
   (x-4)²           =4
   Langkah 4. Kedua ruas diakar
   √(x-4)²         =  √4
   (x-4)             =土 2
    x-4=-2 dan x-2=2
    x=-2+4 dan x=2+2
    x     =2   dan x     =4

b. 3x² - 10x + 8         =0 jika a > 1, maka bagi dulu dengan a
    (3x² - 10x + 8=0) : 3
     x² - ¹⁰/₃x + ⁸/₃       =0 langkah selanjutnya sama seperti contoh a
     x² - ¹⁰/₃x               =-⁸/₃ 
     x² - ¹⁰/₃x + (-⁵/₃)² =- ⁸/₃ + (-⁵/₃)²
     (x - ⁵/₃)²               =¹/₉  
      x - ⁵/₃                 =±¹/₃
      x=- ¹/₃ + ⁵/₃  dan x= ¹/₃ + ⁵/₃ 
       x=⁴/₃            dan x=2

3. Rumus abc

Berdasarkan rumus umum persamaan kuadrat kita dapatkan nilai a dan b sebagai koefisien suku x² dan x, serta c sebagai konstanta. Rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat adalah :

Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
rumus abc

Rumus abc ini bisa kita gunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat yang merupakan bilangan irrasional.

Contoh :
a. x² - 7x + 5=0
    maka a=1, b=-7 dan c=5
Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
b. 2x² + 8x + 7=0
   maka a=2, b=6 dan c=11
Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990




Diskriminan adalah suatu nilai pembeda untuk menentukan jumlah dan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan suatu persamaan kuadrat ax²+ bx + c=0 dapat ditentukan dengan rumus berikut : 

Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
diskriminan

  • Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda. Jika digambar dalam bidang kartesius maka kurva persamaan kuadrat tersebut memotong sumbu x di dua titik. Persamaan kuadrat bisa difaktorkan.
  • Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama. Jika digambar dalam bidang kartesius maka kurva persamaan kuadrat tersebut menyinggung sumbu x di satu titik. Persamaan kuadrat bisa difaktorkan.
  • Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang tidak real. Jika digambar dalam bidang kartesius maka kurva persamaan kuadrat tersebut tidak memotong sumbu x. Persamaan kuadrat tidak bisa difaktorkan.

Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
kurva dan diskriminan

Contoh :
1. Tentukan nilai diskriminan dari persamaan berikut
    a. x2 – 6x + 8=0
    b. x2 + 7x – 10=0
    c. 2x2 – 9x + 15=0
2. Tentukan jenis akar persamaan berikut 
    a. 4x² - 81=0
    b. x² - 11x + 24=0
    c. 2x²+ 7x + 9=0

Jawab : 

1 a. x2 – 6x + 8=0
      a=1, b=-6, c=8
      D=b² - 4.a.c
         =(-6)² - 4.1.8
         =36 - 32
         =4

  b. x2 + 7x – 10=0
     a=1, b=7, c=-10
     D= b² - 4.a.c
       =7² - 4.1.-10
       =49 + 40
       =89

  c. 2x2 – 9x + 15=0
     a=2, b=-9, c=15
     D=b² - 4.a.c
       =(-9)² - 4.2.15
       =81 - 120
       =- 39

2. a. x² - 6x +9=0 
      a=1, b=-6, c=9
      D=b² - 4.a.c
         =(-6)² - 4.1.9
         =36 - 36
         =0
      D=0, akar-akarnya real dan sama
    
    b. x² - 11x + 24=0
       a=1, b=-11, c=24
       D=b² - 4.a.c
         =(-11)² - 4.1.24
         =121 - 96
         =125
       D > 0, akar-akarnya real dan berbeda

    c. 2x²+ 7x + 9=0
       a=2, b=7, c=9
       D=b² - 4.a.c
         =7² - 4.2.9
         =49 - 72
         =-23
       D < 0, akar-akarnya tidak real

Jumlah dan hasil kali akar-akar 
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar- akar x₁ dan x₂, maka kita dapatkan rumus-rumus berikut :

Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
jumlah dan hasil kali akar

Contoh :
Dari persamaan 3x2 – 11x + 6=0 tentukan nilai dari :
a. x₁²+x₂²
b. x₁ - x₂

Jawab :

a=3, b=-11, c=6
x₁+x₂=-b/a=11/3
x₁.x₂ =c/a=6/3

a. x₁²+x₂²=(x₁+x₂)² - 2x₁.x₂
             =(11/3)² - 2. 6/3
             =121/9 - 12/3
             =121/9 - 36/9
             =85/9

b. x₁ - x₂=√D/a
             =√[(-11)²-4.3.6]/3
             =√[121-72] /3
             =√49/3
             =7/3

Menentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya yaitu α dan β bisa dengan dua cara, yaitu :

1. x² - (α+β)x + αβ=0
2. (x - α) (x - β)=0

Contoh :
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kembar yaitu 3
3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali dari persamaan 2x² -8x + 15
4. Jika akar-akar persamaan kuadrat x² -5x + 6=0  adalah x₁ dan x₂, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁ + 2) dan (x₂ + 2)

Jawab

1. α=-2 dan β=5
    x² - (α+β)x + αβ=0
    x² - (-2+5)x + (-2.5)=0
    x² - 3x - 10=0

2. α=β=3
   (x - α) (x - β)=0
   (x - 3) (x - 3)=0
   x² - 3x - 3x + 9=0
   x² - 6x + 9=0

3. 2x² -8x + 15=0
    x₁+x₂=-b/a=-8/2=-4
    x₁.x₂ =c/a =15/2

    α=2x₁ dan β=2x₂
    α+β= 2x₁ + 2x₂
         =2 (x₁+x₂)
         =2 (-4)
         = -8
    αβ= 2x₁.2x₂
       =4.x₁.x₂ 
       =4. 15/2
       =30

   Persamaan baru 
   x² - (α+β)x + αβ=0
   x² - (-8)x + 30=0
     x² + 8x + 30=0

4. x² -5x + 6=0 
    x₁+x₂=-b/a=-5/1=-5
    x₁.x₂ =c/a =6/2   =3

    α=x₁ +2 dan β=x₂ + 2
    α+β= x₁ +2 + x₂ + 2
         = x₁+x₂ + 4 
         =-5 + 4
         =-1
    αβ=(x₁+2) (x₂+2)
       = x₁.x₂ + 2(x₁+x₂) + 4
       =3 + 2(-5) + 4
       =3 - 10 + 4
       =-3

   Persamaan baru 
   x² - (α+β)x + αβ=0
   x² - (-1)x + (-3)=0
   x² + x - 3=0

Demikian materi persamaan kuadrat yang dapat kami uraikan.
Semoga bermanfaat

Bimbel Jakarta Timur | Bimbel Diah Jakarta Timur | WA : +6285875969990
Share

Diah Kusumastuti

Saya Diah Kusumastuti. sebagai pemilik Bimbel Jakarta Timur. Saya pecinta matematika, tetapi juga tertarik untuk ilmu pengetahuan lain seperti Fisika, Kimia, Biologi. Semakin kita belajar dan menggali ilmu semakin kita menyadari betapa luas ilmu Allah sekaligus membuat kita semakin ingin mengeksplor lebih banyak. Dengan blog ini saya ingin berbagi sedikit ilmu yang saya punya dan untuk terus membangkitkan semangat belajar para pembaca. Semoga apa yang saya tulis dalam blog ini dapat bermanfaat bagi yang membaca, juga menjadi tambahan ilmu dan amal jariah bagi saya.

Post A Comment:

0 comments:

Terimakasih atas komentar yang sopan, bijak, dan koreksinya (bilamana ada kesalahan, karena saya hanya manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan) ^_^